A numerical method for solving the Stokes problem with a discontinuous coefficient
Keywords:
задача Стокса, метод декомпозиции области, аппроксимация, системы линейных алгебраических уравнений, итерационные методы, уравнения Навье-Стокса, оценка погрешности, численные методыAbstract
In this paper we consider a numerical method for the axisymmetric flow velocity profile reconstruction and for the pointwise error estimation of reconstruction in the case of fluid or gas flow in circular cross-section transport channels. Our approach is based on applying special ultrasonic flowmeters and on solving an Abel-type integral equation whose right-hand side is assumed to be given with errors at a finite number of measurement points. In order to formulate the problem as well-posed according to Tikhonov, we use the natural a priori information on a velocity vector distribution. It is assumed that the exact solution of the Abel-type equation is a monotonic convex bounded function. In this case, it is possible to determine the error of an approximate solution. We propose a sufficiently simple algorithm for solving the problem; this algorithm is applicable when the number of experimental data is arbitrary.
References
- Arrow K., Hurwicz L., Uzawa H. Studies in linear and nonlinear programming. Stanford: Stanford Univ. Press, 1958.
- Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.
- Yanenko N. The method of fractional steps (the solution of problems of mathematical physics in several variables). Berlin: Springer-Verlag, 1971.
- Марчук Г.И., Яненко Н.Н. Решение многомерного кинетического уравнения методом расщепления // Докл. АН СССР. 1964. 157, № 6. 1291-1292.
- Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.
- Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. 15, № 1. 197-207.
- Дородницын А.А., Меллер Н.А. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. 8, № 2. 393-402.
- Kobelkov G.M. On numerical methods of solving the Navier-Stokes equations in «velocity-pressure» variables // Numerical Methods and Applications. Amsterdam: CRC Press, Inc., 1994. 81-115.
- Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. New York: Springer-Verlag, 1991.
- Arnold D.N., Brezzi F. Mixed and nonconforming finite element methods: implementation, postprocessing and error estimates // RAIRO Math. Model. Numer. Anal. 1985. 19. 7-35.
- Bernardi C., Maday Y., Patera A. A new nonconforming approach to domain decomposition: the mortar element method // Nonlinear Partial Differential Equations and their Applications. Paris: Pitman, 1989. 13-51.
- Kuznetsov Yu.A. Efficient iterative solvers for elliptic finite element problems on nonmatching grids // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 1995. 10, N 3. 187-211.
- Kuznetsov Yu.A., Wheeler M.F. Optimal order substructuring preconditioners for mixed finite element methods on nonmatching grids // East-West J. Numer. Math. 1995. 3, N 2. 127-143.
- Василевский Ю.В. Методы решения краевых задач с использованием нестыкующихся сеток // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Унипресс, 1999. 94-121.
- Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. New Jersey: PWS, 1996.
- Ciarlet P. The finite element method for elliptic problems. Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland Publishing Company, 1978.
- Рукавишников А.В. Численный метод решения задачи Стокса с разрывными коэффициентами в прямоугольнике. Препринт ДВО РАН № 10. Хабаровское отделение Института прикладной математики. Владивосток: Дальнаука, 2002.
- Little L., Saad Y. Block LU-preconditioners for symmetric and nonsymmetric saddle point problems. Minnesota: Minnesota Supercomputing Inst., 1999.
