A probabilistic error estimate of quadrature formulas accurate for Haar polynomials

Authors

  • K.A. Kirillov Siberian Federal University

Keywords:

Haar d-property, error of quadrature formula, Sp classes of functions

Abstract

Quadrature formulas possessing the Haar d-property (i.e., the formulas that are accurate for Haar functions of groups with the numbers not exceeding a given number d) are studied. Previously it was proved that these quadrature formulas have the best order of convergence to zero for the error functional on the classes Sp consisting of the functions with the fast convergent Fourier-Haar series. In this paper we obtain a probabilistic error estimate on the classes Sp for the quadrature formulas possessing the Haar d-property. According to this estimate, for a function randomly chosen from Sp the order of convergence to zero for the error functional is better with an arbitrarily high probability than that obtained previously. In 1970s, I.M. Sobol studied the quadrature formulas with nodes that form Пτ grids; these formulas are also accurate for the Haar functions. This paper generalizes the result obtained by Sobol to the case of arbitrary quadrature formulas possessing the Haar d-property.

Author Biography

K.A. Kirillov

References

  1. Кириллов К.А. Об оценках погрешности квадратурных формул, точных для полиномов Хаара // Вычислительные методы и программирование. 2011. 12. 330-337.
  2. Соболь И.М. Вероятностная оценка погрешности интегрирования для Pi_ au-сеток // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1973. 13, № 4. 1035-1037.
  3. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.
  4. Radon J. Zur mechanischen Kubatur // Monatshefte für Mathematik. 1948. 52, N 4. 286-300.
  5. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.
  6. Носков М.В., Schmid H.J. Кубатурные формулы высокой тригонометрической точности // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2004. 44, № 5. 793-802.
  7. Cools R., Sloan I.H. Minimal cubature formulae of trigonometric degree // Mathematics of Computation. 1996. 65, N 216. 1583-1600.
  8. Cools R., Lyness J.N. Three- and four-dimensional K-optimal lattice rules of moderate trigonometric degree // Mathematics of Computation. 2001. 70, N 236. 1549-1567.
  9. Osipov N.N., Cools R., Noskov M.V. Extremal lattices and the construction of lattice rules // Applied Mathematics and Computation. 2011. 217, N 9. 4397-4407.
  10. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.
  11. Entacher K. Quasi-Monte Carlo methods for numerical integration of multivariate Haar series // BIT Numerical Mathematics. 1997. 37, N 4. 846-861.
  12. Entacher K. Quasi-Monte Carlo methods for numerical integration of multivariate Haar series II // BIT Numerical Mathematics. 1998. 38, N 2. 283-292.
  13. Кириллов К.А., Носков М.В. Минимальные квадратурные формулы, точные для полиномов Хаара // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2002. 42, № 6. 791-799.
  14. Кириллов К.А. Об оценке погрешности минимальных весовых квадратурных формул, точных для функций Хаара // Вычислительные технологии. 2006. 11, спец. выпуск. 44-50.
  15. Кириллов К.А. Оценки нормы функционала погрешности на пространствах S_p весовых квадратурных формул, точных для полиномов Хаара // Вычислительные методы и программирование. 2012. 13. 324-331.
  16. Кириллов К.А. Об оценке нормы функционала погрешности на пространствах S_p весовых квадратурных формул, точных для полиномов Хаара // Вестн. Красноярского гос. аграрного ун-та. 2013. № 7. 30-36.
  17. Кириллов К.А. Минимальные кубатурные формулы, точные для полиномов Хаара в mathbbR^2 // Вопросы математического анализа. 6. Красноярск: Изд-во Красноярского гос. техн. ун-та, 2003. 108-117.
  18. Кириллов К.А. Нижние оценки числа узлов кубатурных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае // Вычислительные технологии. 2004. 9, спец. выпуск. 62-71.
  19. Кириллов К.А. Построение минимальных кубатурных формул, точных для полиномов Хаара высших степеней в двумерном случае // Вычислительные технологии. 2005. 10, спец. выпуск. 29-47.
  20. Noskov M.V., Kirillov K.A. Minimal cubature formulas exact for Haar polynomials // J. of Approximation Theory. 2010. 162, N 3. 615-627.
  21. Кириллов К.А. Алгоритм построения минимальных кубатурных формул, обладающих d-свойством Хаара в двумерном случае // Журн. Сибирского федерального ун-та. Серия «Математика и физика». 2010. 3, № 2. 205-215.
  22. Кириллов К.А. Минимальные кубатурные формулы, точные для полиномов Хаара малых степеней в двумерном случае // Вестн. Красноярского гос. аграрного ун-та. 2012. № 10. 7-12.
  23. Кириллов К.А., Носков М.В. Оценки погрешности на пространствах S_p кубатурных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2009. 49, № 1. 3-13.
  24. Кириллов К.А. Оценки нормы функционала погрешности на пространствах H_alpha кубатурных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае // Журн. Сибирского федерального ун-та. Серия «Математика и физика». 2012. 5, № 3. 382-387.
  25. Кириллов К.А. Об оценках погрешности кубатурных формул, точных для полиномов Хаара // Вестник Сибирского гос. аэрокосмического ун-та. 2012. № 2. 33-36.
  26. Кириллов К.А. О точных для полиномов Хаара кубатурных формулах от функций двух переменных, удовлетворяющих общему условию Липшица // Вычислительные методы и программирование. 2013. 14. 132-140.
  27. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. 1910. 69, № 3. 331-371.

Published

06-02-2014

How to Cite

Кириллов К. A Probabilistic Error Estimate of Quadrature Formulas Accurate for Haar Polynomials // Numerical Methods and Programming (Vychislitel’nye Metody i Programmirovanie). 2014. 15. 70-76

Issue

Section

Section 1. Numerical methods and applications