Methods of steepest and hypodifferential descent in one problem of calculus of variations

Authors

Keywords:

nonsmooth analysis, nondifferentiable optimization, subdifferential, codifferential, exact penalty function, calculus of variations

Abstract

A detailed description of the solution of a variational problem for a functional dependent on the third-order derivative is given. The constrained optimization problem under consideration is reduced using the technique of exact penalty functions to a problem of unconstrained optimization. In order to construct an exact penalty function, the «direct» numerical methods of steepest and hypodifferential descent are proposed. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project N 09-01-00360).

Author Biography

G.Sh. Tamasyan

St Petersburg University,
Faculty of Applied Mathematics and Control Processes
Universitetskii prospekt 35, Petergof, Saint Petersburg, 198504, Russia
• Associate Professor

References

  1. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990.
  2. Rockafellar R.T. Convex analysis. Princeton: Princeton Univ. Press, 1997.
  3. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth analysis and control theory. Berlin: Springer, 1998.
  4. Shor N.Z. Nondifferentiable optimization and polynomial problems. Berlin: Springer, 1998.
  5. Иоффе А.Д. Метрическая регулярность и субдифференциальное исчисление // Успехи матем. наук. 2000. bf 55, вып. 3. 103-162.
  6. Giannessi F., Maugeri A., Pardalos P.M. Equilibrium problems: nonsmooth optimization and variational inequality models. Berlin: Springer, 2001.
  7. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал, 2003.
  8. Alart P., Maisonneuve O., Rockafellar R.T. Nonsmooth mechanics and analysis: theoretical and numerical advances. Berlin: Springer, 2006.
  9. Moreau J.J., Panagiotopoulos P.D. Nonsmooth mechanics and applications. Berlin: Springer, 1988.
  10. Dem’yanov V.F., Stavroulakis G.E., Polyakova L.N., Panagiotopoulos P.D. Quasidifferentiability and nonsmooth modelling in mechanics, engineering and economics. Doordrecht: Kluwer Academic, 1996.
  11. Демьянов В.Ф., Демьянова В.В., Кокорина А.В., Моисеенко В.М. Прогнозирование эффективности химиотерапии при лечении онкологических заболеваний // Вестн. Cанкт-Петербургского ун-та. Серия 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. № 4. 30-36.
  12. Демьянов В.Ф. Точные штрафные функции в задачах негладкой оптимизации // Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Сер. 1. 1994. № 4. С. 21-27.
  13. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационные задачи. М.: Высшая школа, 2005.
  14. Demyanov V.F., Giannessi F., Tamasyan G.Sh. Variational control problems with constraints via exact penalization // Nonconvex optimization and its applications. Vol. 79. Variational Analysis and Applications / Eds. F. Giannessi and A. Maugeru. New York: Springer, 2005. 301-342.
  15. Demyanov V.F., Tamasyan G.Sh. Exact penalty functions in isoperimetric problems // Optimization. 2011. 60, Issue 1. 153-177.
  16. Демьянов В.Ф., Тамасян Г.Ш. О прямых методах решения вариационных задач // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2010. 16, № 5. 36-47.
  17. Еремин И.И. Метод «штрафов» в выпуклом программировании // Докл. АН СССР. 1967. 143, № 4. 748-751.
  18. Demyanov V.F., Giannessi F., Karelin V.V. Optimal control problems via exact penalty functions // J. Global Optim. 1998. 12, N 3. 215-223.
  19. Карелин В.В. Штрафные функции в одной задаче управления // Автомат. и телемех. 2004. № 3. 137-147.
  20. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. М.: Гостехиздат, 1941.
  21. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961.
  22. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
  23. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.
  24. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.
  25. Утешев А.Ю., Тамасян Г.Ш. К задаче полиномиального интерполирования с кратными узлами // Вестн. Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. 2010. Вып. 3. 76-85.
New computational technologies

Downloads

Published

27-02-2012

How to Cite

Тамасян Г. Methods of Steepest and Hypodifferential Descent in One Problem of Calculus of Variations // Numerical Methods and Programming (Vychislitel’nye Metody i Programmirovanie). 2012. 13. 197-217

Issue

Vol. 13 (2012): Issue 1.

Section

Section 1. Numerical methods and applications